Potência na ML e matemática financeira

Prof. Roberto Losada Pratti

POTÊNCIA

 

            Utilize a ML (maquininha do Losada, maquininha simples com as 4 operações) para calcular as potências.

 

potência

ML (tecla = uma vez a menos que o expoente)

resultado

22

2 x =

4

23

2 x = =

8

24

2 x = = =

16

25

2 x = = = =

32

26

2 x = = = = =

64

27

2 x = = = = = =      

128

28

2 x = = = = = = =

256

29

2 x = = = = = = = =

512

210

2 x = = = = = = = = =

1024

 

REPRESENTAÇÃO

am = b

a é a base diferente de 1

m é o expoente e é um número real

b é o resultado, a potência

            Vamos escrever o que consta na tabela:

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

Podemos escrever simplesmente:

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

27 = 128

28 = 216

29 = 512

210 = 1024

 

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS

            Dê o resultado: 4 x 8 = 32

            Substituindo 4 por 22 e 8 por 23 temos

4 x 8 = 22 x 23 = (2 x 2) x (2 x 2 x 2) =  2 x 2 x 2 x 2 x 2 x = 25 = 32

            Observe que havia o 2 aparece 5 vezes, duas vezes do 4 e três vezes do 8, ou seja, na multiplicação os expoentes são somados.

22 x 23 = 22 + 3 = 25

            Isso vale sempre, assim podemos escrever a propriedade:

 

am x an = am + n

Exemplos:

22 x 23 = 22 + 3 = 25

210 x 26 = 210 + 6 = 216

32 x 33 = 32 + 3 = 35

82 x 84 = 82 + 4 = 86

1,115 x 1,120 = 1,115 + 20 = 1,135

51/2 x 51/2 = 51/2 + 1/2 = 51

23 x 23 = 23 + 3 = 26

 

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

            8 x 8 = 82 = 64

            23 x 23 = 23 + 3 = 23 x 2= 82 = (23)x 2 =  (23) 2 = 82 = 26 = 64

            Resumindo: (23) 2 = 23 x 2 = 26

            A propriedade de potência de potência é:

(am) n = am x n

 

Exemplos

            (23) 2 = 23 x 2 = 26

            (753) 2 = 753 x 2 = 756

            (1170) 10 = 1170 x 10 = 11700

 

DIVISÃO

            32/4 = 4

            32 =  25 e 4 = 22

            32/4 = 25 / 22 = (2x2x2x2x2) / (2x2)

            Cancelando os números

                  (2x2x2x2x2) / (2x2) = 2x2x2 = 23 = 8

            Observe que havia 5 números em cima e foram cancelados por 2, restando 3, ou seja 5 – 2 = 3

            Resumindo  

            25 / 22 = (2x2x2x2x2) / (2x2) = 25-2 = 23 = 8

            Isso vale sempre, assim podemos escrever a propriedade:

am / an = am - n

 

Exemplos

25 / 22 = 25 – 2 = 23

1005 / 1002 = 1005 – 2 = 1003

559 / 553 = 559 – 3 = 556

75 / 7 = 75 – 1 = 74

2,71830 / 2,71810 = 2,71830 – 10 = 2,71820

 

EXPOENTE 0, a0 = 1

            8 / 8 = 1

            23 / 23 = 23 -  3 = 20 = 1

            Estamos diante de uma dificuldade, pois é estranho 20 = 1, ou seja, um número elevado a nada resultar 1. Mas, para a propriedade da divisão continuar válida, definimos que um número elevado a zero resulta 1, e “salvamos” a propriedade.

            Por isso, embora estranho, define-se (para a propriedade da divisão de potências continuar valendo):

a0 = 1

 

EXPOENTE NEGATIVO: a-m = 1/ am

            4/32 = 1/8

            32 =  25 e 4 = 22

            4/32 = 1/8 =  (2x2) / (2x2x2x2x2) = 22 / 25

            Cancelando os números

            (2x2) / (2x2x2x2x2) = 22 / 25 = 1/23

            Observe que havia 2 números em cima e não sobrou nenhum, restando 3 em baixo , ou seja 2 – 5 = -3

            Resumindo  

            22 / 25 = (2x2) / (2x2x2x2x2) = 22-5 = 2-3 = 1/23

            O expoente -3 “não vai para baixo porque é fórmula”. O -3 indica que havia mais números embaixo, e permanecem lá.

            Isso vale sempre, assim podemos escrever a propriedade:

a-m = 1/am

 

FUNÇÃO EXPONENCIAL

            f(x) = 2x

            f(x) = 22 = 4

            f(x) = 23 = 8

            f(x) = 24 = 16

            f(x) = 21 = 2

            f(x) = 20 = 1

            f(x) = 2-1 = 1/21 = 1 / 2 = 0,5

            f(x) = 2-2 = 1/22 = 1 / 4 = 0,25

 

APLICAÇÃO

            No link de porcentagem, tínhamos o seguinte enunciado, que é uma aplicação de potência:

Apliquei R$ 1.000,00 em caderneta de poupança durante 3 meses. Sabendo-se que as 3 taxas foram iguais a 10% ao mês, resolva usando potenciação na ML.

Generalizando, saldo final ou montante (M), M = 1000 x 1,1 x1,1 x1,1 = 1000 x 1,13 = 1331, M =  C x (1 + i) n

Usando potenciação na ML 1.1 x = =(aparece no visor 1.331) x 1000 (aparece no visor 1331)

Portanto, o saldo é R$ 1.331,00.

 

 

EXERCÍCIOS

1) Utilize a ML para calcular as potências.

 

potência

ML (tecla = uma vez a menos que o expoente)

resultado

22

2 x =

 

23

2 x = =

 

24

2 x = = =

 

25

2 x = = = =

 

26

2 x = = = = =

 

27

2 x = = = = = =       

 

28

2 x = = = = = = =

 

29

2 x = = = = = = = =

 

210

2 x = = = = = = = = =

 

 

2) Calcule as potências.

22 = 2 x 2 =

23 = 2 x 2 x 2 =

24 = 2 x 2 x 2 x 2 =

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 =

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 =

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 =

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 x 2 =

 

3) Escreva o resultado:

22 =

23 =

24 =

25 =

26 =

27 =

28 =

29 =

210 =

 

4) Dê o resultado: 4 x 8 =

 

5) Calcule

22 x 23 = 22 + 3 =

6) Escreva a propriedade

am x an =

7) a) 22 x 23 = 22 + 3 =

b) 210 x 26 = 210 + 6 =

c) 32 x 33 = 32 + 3 =

d) 82 x 84 = 82 + 4 =

e) 1,115 x 1,120 = 1,115 + 20 =

f) 51/2 x 51/2 = 51/2 + 1/2 =

g) 23 x 23 = 23 + 3 =

 

8) Escreva a propriedade

am x an =

 

9) a)(23) 2 = 23 x 2 =

b) (753) 2 = 753 x 2 =

c) (1170) 10 = 1170 x 10 =

 

10) Escreva a propriedade

am / an =

 

11) Resolva

a) 25 / 22 =

b) 1005 / 1002 =

c) 559 / 553 =

d) 75 / 7 =

e) 2,71830 / 2,71810 =

 

12) Escreva a propriedade

a0 =

 

13) Escreva a propriedade

a-m =

 

14) Determine

            f(x) = 22 =

            f(x) = 23 =

            f(x) = 24 =

            f(x) = 21 =

            f(x) = 20 =

            f(x) = 2-1 =

            f(x) = 2-2 =

 

15) Apliquei R$ 1.000,00 em caderneta de poupança durante 3 meses. Sabendo-se que as 3 taxas foram iguais a 10% ao mês, resolva usando potenciação na ML.

 

 

 

RESULTADOS

1)

 

potência

ML (tecla = uma vez a menos que o expoente)

resultado

22

2 x =

4

23

2 x = =

8

24

2 x = = =

16

25

2 x = = = =

32

26

2 x = = = = =

64

27

2 x = = = = = =      

128

28

2 x = = = = = = =

256

29

2 x = = = = = = = =

512

210

2 x = = = = = = = = =

1024

2)

22 = 2 x 2 = 4

23 = 2 x 2 x 2 = 8

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 = 128

28 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 = 256

29 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 = 512

210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

 

3)

22 = 4

23 = 8

24 = 16

25 = 32

26 = 64

27 = 128

28 = 216

29 = 512

210 = 1024

4) Dê o resultado: 4 x 8 = 32

5) 22 x 23 = 22 + 3 = 25 = 32

6) am x an = am + n

7) a) 22 x 23 = 22 + 3 = 25

b) 210 x 26 = 210 + 6 = 216

c) 32 x 33 = 32 + 3 = 35

d) 82 x 84 = 82 + 4 = 86

e) 1,115 x 1,120 = 1,115 + 20 = 1,135

f) 51/2 x 51/2 = 51/2 + 1/2 = 51

g) 23 x 23 = 23 + 3 = 26

8) (am) n = am x n

9) a)(23) 2 = 23 x 2 = 26

b) (753) 2 = 753 x 2 = 756

c) (1170) 10 = 1170 x 10 = 11700

10) am / an = am - n

11) a) 25 / 22 = 25 – 2 = 23

b) 1005 / 1002 = 1005 – 2 = 1003

c) 559 / 553 = 559 – 3 = 556

d) 75 / 7 = 75 – 1 = 74

e) 2,71830 / 2,71810 = 2,71830 – 10 = 2,71820

12) a0 = 1

13) a-m = 1/am

14)      f(x) = 22 = 4

            f(x) = 23 = 8

            f(x) = 24 = 16

            f(x) = 21 = 2

            f(x) = 20 = 1

            f(x) = 2-1 = 1/21 = 1 / 2 = 0,5

            f(x) = 2-2 = 1/22 = 1 / 4 = 0,25

15) Generalizando, saldo final ou montante (M), M = 1000 x 1,1 x1,1 x1,1 = 1000 x 1,13 = 1331,

M =  C x (1 + i) n

Usando potenciação na ML 1.1 x = =(aparece no visor 1.331) x 1000 (aparece no visor 1331).

                  Portanto, o saldo é R$ 1.331,00.

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