Integral, operação inversa da derivada

 

Prof. Roberto Losada Pratti 

 

OPERAÇÃO INVERSA

A operação inversa da multiplicação é divisão. A operação inversa de adição é subtração. A operação inversa de derivada é integral. A operação inversa da integral é a derivada

 

A simbologia utilizada, que está abaixo, geralmente traumatiza as pessoas normais. Se você se assustar, parabéns, você é uma pessoa normal.

 

NOTAÇÃO

f(x) dx =  F(x)

F’(x) = f(x)

 

A INTEGRAL de uma função contínua e não negativa, no intervalo [a,b], equivale à área limitada pelo gráfico de f(x) e o eixo das abscissas (eixo dos x).

 

Simbologia: ∫f(x) dx

∫ é o sinal de integral

f(x) é chamada de integrando ou função integranda

dx é uma notação usada em derivada e não tem influência nos cálculos, por isso, não é número, não é função e nem está multiplicando. O símbolo dx pode ser considerado (por herege ou pessoas normais) como enfeite.

F’(x) = f(x), isto é, derivada de F é f

∫f(x) dx = F(x), isto é, integral de f(x) = F(x)

F também é chamada de primitiva de f

 OBSERVAÇÃO: Abaixo, para facilitar o entendimento, na primitiva F(x) não é citada a constante.

 

 

Exemplos:

 

1) Sejam f(x) = 2x e F(x) = x2

a) derivada de F = F’(x) = (x2)’ = 2x = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 2x dx = x2 = F(x)

                            

2) Sejam f(x) = x e F(x) = x2/2

 

a) F’(x) = (x2/2)’ = x = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ x dx = x2/2 = F(x)

 

3) Sejam f(x) = 10x e F(x) = 5x2

a) F’(x) = (5x2)’ = 10x = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 10x dx = 5x2 = F(x)

 

4) Sejam f(x) = 3 x2 e F(x) = x3

a) F’(x) = (x3)’ = 3 x2 = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 3 x2 dx = x3 = F(x)

 

5) Sejam f(x) =  x2 e F(x) = x3/3

a) F’(x) = (x3/3)’ = x2 = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = x3/3 = F(x)

 

6) Sejam f(x) = 12 x2 e F(x) =4 x3

a) F’(x) = (4x3)’ = 12 x2 = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 12 x2 dx =4 x3 = F(x)

 

7) Sejam f(x) = 1 e F(x) =1x

a) F’(x) = (1x)’ = 1 = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 1 dx =1x = F(x)

 

8) Sejam f(x) = 2x + 7 e F(x) = x2 + 7x

a) F’(x) = (x2 + 7x)’ = 2x + 7  = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 2x + 7 dx = x2 + 7x = F(x)

 

9) Sejam f(x) = 2x - 7 e F(x) = x2 - 7x

a) F’(x) = (x2 - 7x)’ = 2x - 7  = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ 2x - 7 dx = x2 - 7x = F(x)

 

10) Sejam f(x) =  x2 - 4 e F(x) = x3/3 – 4x

a) F’(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 - 4 = f(x)

b) ∫ f(x) dx = ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x = F(x)

 

 

INTEGRAL DEFINIDA

 

Exemplos:

        

 

Encontre a área:

         11) Seja f(x) = x

 

Em Geometria, a área do triângulo é A = base . altura/2

A = 4 . 4 /2

A = 16 /2

A = 8

 

Em Integral, veja o exemplo 2 acima.

∫ f(x) dx = ∫ x dx = x2/2

A integral entre 0 e 4 = ∫ x dx = x2/2 = 42/2 = 16/2 = 8, portanto, área = 8

 

12) Seja f(x) = x2. Encontre a área para x entre 1 e 3

Veja o exemplo 5 acima.

F’(x) = (x3/3)’ = x2, portanto, área = ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = x3/3.

A área é a partir do 1, não é a partir do zero. Calcula-se o valor para x = 3 e subtrai-se o valor para x = 1

área  para x = 3 = ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = 33/3 = 27/3 = 9

área  para x = 1 = ∫ f(x) dx = ∫ x2 dx = 13/3 = 1/3

área entre 1 e 3 = 9 – 1/3 = 26/3

  

13) Seja f(x) = x2-4. Encontre a área para x entre -2 e 2

   

          

 

Veja o exemplo 10 acima.

F’(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 – 4, portanto = área = ∫ f(x) dx = ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x.

A área está na parte debaixo.

Essa é área de parábola, que é simétrica, como vocês viram em Matemática. Pode ser calculada área entre 0 e 2 e dobra-se, ou seja, multiplica-se por 2.

Observe a figura.

Veja o exemplo 10 acima.

F’(x) = (x3/3 – 4x)’ = x2 – 4, portanto área = ∫ f(x) dx = ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x   

Para x = 2, ∫ x2 – 4 dx = x3/3 – 4x = 23/3 – 4.2 = 8/3 – 8 =          - 16/3.

Como a área é positiva e do lado do -2 a 0 é igual, é só multiplicar por 2.

2. 16/3 = 32/3

Portanto, área = 32/3

 

EXERCÍCIOS

 

Sabendo-se que ∫f(x) dx =  F(x) e que F’(x) = f(x), calcule f(x).

1)  ∫ f(x) dx = x2

f(x) = (x2)’ =

 

 

 

2) ∫ f(x) dx = x2/2

 f(x) = (x2/2)’ =

 

 

 

3) ∫ f(x) dx = 5x2

f(x) = (5x2)’ =

 

 

 

4) ∫ f(x) dx = x3

f(x) = (x3)’ =

 

 

 

5) ∫ f(x) dx = x3/3

 f(x) = (x3/3)’ =

 

 

 

6) ∫ f(x) dx = 4 x3

 f(x) = (4x3)’ =

 

 

 

7) ∫ f(x) dx = 1x

 f(x) =  (1x)’ =

 

 

 

8) ∫ f(x) dx = x2 + 7x

 f(x) = (x2 + 7x)’ =

 

 

 

9) ∫ f(x) dx =  x2 - 7x

 f(x) = (x2 - 7x)’ =

 

 

         10) ∫ f(x) dx = x3/3 – 4x

         f(x) =  (x3/3 – 4x)’ =

 

 

 

RESPOSTAS

 

1)  ∫ f(x) dx = x2

f(x) = (x2)’ = 2x

2) ∫ f(x) dx = x2/2

 f(x) = (x2/2)’ = x

3) ∫ f(x) dx = 5x2

f(x) = (5x2)’ =10x

 4) ∫ f(x) dx = x3

f(x) = (x3)’ = 3 x2

5) ∫ f(x) dx = x3/3

 f(x) = (x3/3)’ = x2

6) ∫ f(x) dx = 4 x3

 f(x) = (4x3)’ = 12 x2

 7) ∫ f(x) dx = 1x

 f(x) =  (1x)’ = 1

8) ∫ f(x) dx = x2 + 7x

 f(x) = (x2 + 7x)’ = 2x + 7  

 9) ∫ f(x) dx =  x2 - 7x

 f(x) = (x2 - 7x)’ = 2x - 7  

         10) ∫ f(x) dx = x3/3 – 4x

         f(x) =  (x3/3 – 4x)’ = x2 - 4

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