Imposto de renda, nova abordagem

Prof. Roberto Losada Pratti

 

Utilizando tabelas, gráficos e sentenças matemáticas podemos calcular a parcela a deduzir, entender os cálculos do Imposto de Renda e chegar a novas fórmulas para calcular o IR com simples funções do 1º grau sem a parcela a deduzir, substituída pela soma do IR do menor valor da faixa.                                                  

 

Tabela oficial

Base de cálculo mensal em R$

Alíquota %

Parcela a deduzir do imposto em R$

Até 1.434,59

-

-

De 1.434,60 até 2.150,00

7,5

107,59

De 2.150,01 até 2.866,70

15,0

268,84

De 2.866,71 até 3.582,00

22,5

483,84

Acima de 3.582,00

27,5

662,94

 

 

I) CÁLCULO DA PARCELA A DEDUZIR

         As alíquotas e as faixas são determinadas pelo governo. Ao contrário do que muitos pensam, a parcela a deduzir é determinada matematicamente e utilizada para facilitar os cálculos. Portanto, a parcela a deduzir não é determinada pelo governo.

Como veremos abaixo, se for aplicada a alíquota no limite superior, por causa de 1 centavo a pessoa pagará muito mais. A parcela a deduzir corrige essa distorção. Antes de calcular a parcela a deduzir, faremos alguns cálculos para entender melhor como se chega nela.

 

Tabela para facilitar o entendimento de cálculos e da parcela a deduzir.

Nomenclatura: IR = imposto de renda, limite superior (LS) é o maior valor da faixa, limite inferior (li) é o menor valor da faixa.

FAIXA

Base de cálculo mensal em R$

 %

% em decimal

IR do LS

IR do li

% x li

Parcela a  deduzir =

 % x li - IR

1

Até 1.434,59

-

-

0,00

-

-

-

2

1.434,60 a 2.150,00

7,5

0,075

53,66

0,00

107,59

107,59

3

2.150,01 a 2.866,70

15,0

0,15

161,16

53,66

322,50

268,84

4

2.866,71 a 3.582,00

22,5

0,225

322,11

161,16

645,00

483,84

5

Acima de 3.582,00

27,5

0,275

 

322,11

985,05

662,94

 

 

PORCENTAGEM

         Um estudo mais aprofundado de porcentagem você encontra em www.matematicapopular.webnode.com/porcentagem

         O símbolo % significa dividido por cem ou centésimo.

         As alíquotas do IR ficam:

         7,5% = 7,5/100 = 0,075

         15% = 15/100 = 0,15

         22,5% = 22,5% = 0,225

         27,5% = 27,5% = 0,275

 

CÁLCULO DO IR DO LIMITE SUPERIOR (LS) POR FAIXA

Faixa 2: 2150 x 0,075 – 107,59 = 53,66

Faixa 3: 2.866,70 x 0,15 – 268,84 = 161,16

Faixa 4: 3.582,00 x 0,225 – 483,84 = 322,11

 

 

CÁLCULO DO IR DO LIMITE INFERIOR (li) POR FAIXA

Faixa 2: 1434,60 x 0,075 – 107,59 = 107,59 – 107,59 = 0

Faixa 3: 2150,01 x 0,15 – 268,84 = 53,66

Faixa 4: 2866,71 x 0,225 – 483,84 = 161,16

Faixa 5: 3582 x 0,275 – 662,94 = 322,11

 

 

CÁLCULO DA PARCELA A DEDUZIR

li multiplicado pela  % menos IR do LS da outra faixa

Li x % - LS da outra faixa

Observe na tabela que o LS de uma faixa é igual ao limite inferior da faixa seguinte, para não haver distorção. Matematicamente é para tornar a função contínua (os limites laterais são iguais em Cálculo Diferencial e Integral, estudado em Matemática do curso de Contábeis).

FAIXA 1: A pessoa é isenta até R$ 1434,59.

FAIXA 2: Quem tem base de cálculo R$ 1434,59 (LS da faixa 1 não paga). Quem tem base de cálculo R$ 1434,60 (li da faixa 2) está na alíquota 7,5%. Calculando 1434,60 x 0,075 = 107,59. Então, para corrigir a distorção (tornar a função contínua), essa deve ser a parcela a deduzir.

FAIXA 3: Quem tem base de cálculo R$ 2150,00 (LS da faixa 2) paga R$ 53,66. Quem tem base de cálculo R$ 2150,01 (li da faixa 3) está na alíquota 15%. Calculando 2150,01 x 0,15 = 322,50. Então, para corrigir a distorção, 322,50 – 53,66 = 268,84 que é a parcela a deduzir.

FAIXA 4: Quem tem base de cálculo R$ 2.866,70 (LS da faixa 3) paga R$ 161,16. Quem tem base de cálculo R$ 2.866,71 (li da faixa 4) está na alíquota 22,5%. Calculando 2.866,71 x 0,225 = 645,00. Então, para corrigir a distorção, 645,00 – 161,16 = 483,84 que é a parcela a deduzir.

FAIXA 5: Quem tem base de cálculo R$ 3582,00  (LS da faixa 4) paga R$ 322,11. Quem tem base de cálculo R$ 3582,01 está na alíquota 27,5%. Calculando 3582,01 x 0,275 = 985,00. Então, para corrigir a distorção, 985,00 – 322,11 = 662,94 que é a parcela a deduzir.

 

CÁLCULO DO IR NA FAIXA: LIMITE SUPERIOR MENOS LIMITE INFERIOR

LS – LI

FAIXA 2: 53,66- 0,00 = 53,66

FAIXA 3: 161,16 - 53,66 = 107,50

FAIXA 4: 322,11 - 161,16 = 160,95

 

II) CÁLCULO DO IR POR FUNÇÃO

         O cálculo de cada faixa pode ser feito por uma função do 1º grau do tipo f(x) = y IR = a. X + b [a é o coeficiente angular (alíquota, porcentagem, derivada), X é a variável (base de cálculo) e b é o coeficiente linear (parcela a deduzir que pode ser obtida pelo prolongamento da reta até o eixo das ordenadas)]. Mais detalhes sobre função do 1º grau você encontra no link função e o camelô, neste site.

 

         Resumindo, f(x) = IR = porcentagem multiplicada pela base de cálculo menos a parcela a deduzir.

         No IR, a corresponde à alíquota, X é a base de cálculo e b é a parcela a deduzir.

Faixa 1: IR = 0. Matematicamente, f 1(X) = 0

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00:  IR = f 2(X) = 0,075 . X – 107,59

Faixa 3 - 2.150,01 a 2.866,70: IR = f 3(X) = 0,15 . X – 268,84

Faixa 4 - 2.866,71 a 3.582,00: IR = f 4(X) = 0,225 . X – 483,84

Faixa 5 - Acima de 3.582,00 : IR = f 5(X) = 0,275 . X – 662,94

 

III) GRÁFICO DO IR

         Construa o gráfico. Agora você pode obter os valores do IR sem fazer cálculo, só olhando no gráfico.  

O gráfico do IR é composto por vários segmentos de reta.

         O segmento correspondente à faixa 1 é originado pela função constante f(x) = 0 no eixo das abscissas que vai do zero até 1.434,59.

         O segmento da faixa 2 vai até 2.150, tendo comprimento 2.150 – 1.434,59  =   715,41.Como vimos acima, a parcela a deduzir é para não haver distorção, o que matematicamente implica em O coeficiente angular é 0,075. Multiplicando 715,41 por 0,075 obtém-se o IR de 2.150, que é 53,66. Observando o triângulo formado, seu cateto oposto é 53,66 e o cateto adjacente é 715,41. Efetuando a divisão do cateto oposto pelo cateto adjacente obtemos a tangente 53,66 / 715,42 = 0,075 = 7,5% que é a alíquota do IR, que é a derivada da função f2

Para as outras faixas, o procedimento é análogo.

Observe que as inclinações aumentam, pois, matematicamente, as derivadas aumentam a cada faixa, ou seja, as tangentes.

 

IV) CÁLCULO DO IR A PARTIR DO li

Nova tabela para cálculo do IR diferente da tabela oficial

FAIXA

Base de cálculo mensal em R$

 %

% em decimal

li

IR do LI

1

Até 1.434,59

-

-

-

-

2

1.434,60 a 2.150,00

7,5

0,075

1.434,60

0,00

3

2.150,01 a 2.866,70

15,0

0,15

2.150,01

53,66

4

2.866,71 a 3.582,00

22,5

0,225

2.866,71

161,16

5

Acima de 3.582,00

27,5

0,275

3.582,00

322,11

 

 

As porcentagens incidem apenas nos valores da faixa a partir do li.

Exemplos:

1) Qual o IR de R$ 1.534,60?

1534,60 – 1434,60 = R$ 100,00.

7,5% incidirá apenas sobre 100,00

0,075 x 100 = R$ 7,50

 

2) Qual o IR de R$ 2.250,01?

2250,01 – 2.150,01 = 100,00

15% incidirá apenas sobre 100,00

0,15 x 100 = R$ 15,00

Como até 2150,00 0 imposto era 53,66

15,00 + 53,66 = 68,66

 

Assim temos uma nova maneira de calcular o IR: aplica-se a alíquota sobre a diferença entre o valor e o limite inferior e soma-se com o IR do limite inferior.

IR = f(X) = porcentagem  . (X – li) + IRli

Exemplo: Qual o IR de R$ 4.582,00

IR = 0,275 . (4582 – 3582) + 322,11

IR = 0,275 . 1000 + 322,11

IR = 275 + 322,11 = 597,11

 

IR = f(X) = porcentagem . (X – li) + IRli

Faixa 1- até 1434,59: IR = 0

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00: 0,075 . (X – 1434,59)

         Faixa 3 - 2.150,01 a 2.866,70: 0,15 . (X – 2.150,00) + 53,66

         Faixa 4 - 2.866,71 a 3.582,00 : 0,225 . (X – 2866,70) + 161,16

         Faixa 5 - Acima de 3.582,00: 0,275 . (X – 3.582,00) + 322,11

 

V – NOVA ALÍQUOTA – NOVA PARCELA A DEDUZIR - GRÁFICO – COEFICIENTE ANGULAR – INTERSECÇÃO DE RETA E PARALELISMO

 

         Para aprimorar o conhecimento, vamos criar um exemplo alterando a alíquota somente da faixa 2 de 7,5% para 10%

 

Tabela fictícia com alteração da alíquota da faixa 2 para 10%                          

Base de cálculo mensal em R$

Alíquota %

Parcela a deduzir do imposto em R$

Até 1.434,59

-

-

De 1.434,60 até 2.150,00

10

 

De 2.150,01 até 2.866,70

15,0

 

De 2.866,71 até 3.582,00

22,5

 

Acima de 3.582,00

27,5

 

 

 

Alterando somente a alíquota da faixa 2 da tabela oficial de 7,5% para 10% (portanto a faixa 1 continua isenta), qual a nova parcela a deduzir dessa alíquota fictícia?

         Para que a função seja contínua, a faixa 1 não paga, a parcela a deduzir será 1434,60 x 10% = 143,46

 

         Quais as novas sentenças matemáticas para a faixa 2?

         Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00:  IR = f 2(X) = 0,1 . X – 143,46

OU

         Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00: IR = 0,1 . (X – 1434,60)

        

         Como é o novo gráfico para a faixa 2, com alíquota fictícia de 10%, e qual sua relação com o antigo?

         O gráfico é um segmento de reta com extremidade no limite da faixa e seu coeficiente angular é 0,1, por causa da alíquota 10% = 0,1. As retas suportes do gráfico antigo e do novo, na faixa 2, são retas concorrentes.

 

         Como e ficaria o gráfico das outras faixas?

         Como as outras alíquotas não foram alteradas, os coeficientes angulares são os mesmos, portanto as retas são paralelas às retas da tabela oficial nas outras faixas.

 

RESUMO DE FUNÇÃO DO 1º GRAU, TABELA E GRÁFICO

            Seja f(x) = a.x + b

            O coeficiente linear é o número “sozinho”, b, e representa onde a reta corta o eixo y, pois x = 0

            f(0) = a.0 + b = 0 + b = b  

            É o ponto (0,b)

         Nas funções acima do IR onde se utiliza a tabela oficial, o coeficiente linear b é a parcela a deduzir.

            O coeficiente angular é o número “na frente” do x. Matematicamente, é a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas.

Nas funções acima do IR, o coeficiente angular a é a alíquota.

Exemplo: Faixa 2: f(X) = 0,075 . X – 107,59

Coeficiente angular = 0,075

Coeficiente linear = – 107,59

 

 

LISTA DE EXERCÍCIOS

 

1) Calcule o Imposto de Renda com base na tabela oficial, utilizando as sentenças matemáticas para cada faixa (funções do 1º grau), onde X é o valor da base de cálculo.

Faixa 1 - até 1434,59: IR = f 1(X) = 0

X = 500,00

IR =

 

X  = 1.434,59

IR =

 

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00:  IR = f 2(X) = 0,075 . X – 107,59

X = 1.434,60

IR =

 

 

 

X = 1.534,60

IR =

 

 

 

X = 2.150,00

IR =

 

 

 

Faixa 3 - 2.150,01 a 2.866,70: IR = f 3(X) = 0,15 . X – 268,84

X = 2.150,01

IR =

 

 

X = 2.250,01

IR =

 

 

X = 2.866,70

IR =

 

 

 

Faixa 4: - 2.866,71 a 3.582,00 IR = f 4(X) = 0,225 . X – 483,84

X = 2866,71

IR =

 

 

 

X = 2966,71

IR =

 

 

 

 

X = 3.582,00

IR =

 

 

 

Faixa 5 - Acima de 3.582,00: IR = f 5(X) = 0,275 . X – 662,94

X = 3.582,01

IR =

 

 

 

 

X = 3.682,01

IR =

 

 

X= 4.582,01

IR =

 

 

2) Calcule o Imposto de Renda com base na tabela oficial, utilizando as sentenças matemáticas para cada faixa (funções do 1º grau) a partir da soma dos IR dos limites das faixas.

 

Faixa 1 - até 1434,59: IR = 0

X = 500,00

IR =

 

X  = 1.434,59

IR =

 

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00: 0,075 . (X – 1434,60)

X = 1.434,60

IR =

 

 

 

X = 1.534,60

IR =

 

 

 

X = 2.150,00

IR =

 

 

 

Faixa 3 - 2.150,01 a 2.866,70: 0,15 . (X – 2.150,01) + 53,66

X = 2.150,01

IR =

 

 

X = 2.250,01

IR =

 

 

X = 2.866,70

IR =

 

 

 

Faixa 4 - 2.866,71 a 3.582,00: 0,225 . (X – 2866,71) + 161,16

X = 2866,71

IR =

 

 

 

X = 2966,71

IR =

 

 

 

 

X = 3.582,00

IR =

 

 

 

Faixa 5 - Acima de 3.582,00: 0,275 . (X – 3.582,00) + 322,11

X = 3.582,01

IR =

 

 

 

 

X = 3.682,01

IR =

 

 

X= 4.582,01

IR =

 

 

3) A parcela a deduzir é obtida multiplicando o limite inferior da faixa pela porcentagem e subtraindo-se o Imposto de Renda do Limite Superior da faixa anterior. Ou seja: li . porcentagem - LS da outra faixa

Determine a parcela a deduzir das seguintes faixas:

a) FAIXA 2: Quem tem base de cálculo R$ 1434,59 (LS da faixa 1 não paga). Quem tem base de cálculo R$ 1434,60 (li da faixa 2) está na alíquota 7,5%. Calculando 1434,60 x 0,075 = 107,59. Qual a parcela a deduzir? 

 

 

 

 

 

 

b) FAIXA 3: Quem tem base de cálculo R$ 2150,00 (LS da faixa 2) paga R$ 53,66. Quem tem base de cálculo R$ 2150,01 (li da faixa 3) está na alíquota 15%. Calculando 2150,01 x 0,15 = 322,50. Qual a parcela a deduzir? 

 

 

 

 

 

c) FAIXA 4: Quem tem base de cálculo R$ 2.866,70 (LS da faixa 3) paga R$ 161,16. Quem tem base de cálculo R$ 2.866,71 (li da faixa 4) está na alíquota 22,5%. Calculando 2.866,71 x 0,225 = 645,00. Qual a parcela a deduzir?

 

 

 

 

 

 

d) FAIXA 5: Quem tem base de cálculo R$ 3582,00  (LS da faixa 4) paga R$ 322,11. Quem tem base de cálculo R$ 3582,01 está na alíquota 27,5%. Calculando 3582,01 x 0,275 = 985,00. Qual a parcela a deduzir?

 

 

 

         4) Para aprimorar o conhecimento, vamos criar um exemplo fictício alterando somente a alíquota da faixa 2 de 7,5% para 10%.

a) Alterando somente a alíquota da faixa 2 da tabela oficial de 7,5% para 10% (portanto a faixa 1 continua isenta), qual a nova parcela a deduzir dessa alíquota fictícia?

 

 

 

 

b) Quais as novas sentenças matemáticas para a faixa 2 com alíquota fictícia de 10%?

        

 

 

c) Como é o novo gráfico para a faixa 2, com alíquota fictícia de 10%, e qual sua relação com o antigo?

        

 

 

d) Como e ficaria o gráfico das outras faixas?

        

 

 

5) Na função do IR da Faixa 2: f(X) = 0,075 . X – 107,59

a) Qual o coeficiente angular e o que ele significa na função acima do IR?

b) Qual o coeficiente linear e o que ele significa na função acima do IR?

 

RESPOSTAS

 

1) Calcule o Imposto de Renda com base na tabela oficial, utilizando as sentenças matemáticas para cada faixa (funções do 1º grau), onde X é o valor da base de cálculo.

Faixa 1 - até 1434,59: IR = f 1(X) = 0

X = 500,00

IR = 0

 

X  = 1.434,59

IR = 0

 

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00:  IR = f 2(X) = 0,075 . X – 107,59

X = 1.434,60

IR = 0

 

 

 

X = 1.534,60

IR = 7,50

 

 

 

X = 2.150,00

IR = 53,66

 

 

 

Faixa 3 - 2.150,01 a 2.866,70: IR = f 3(X) = 0,15 . X – 268,84

X = 2.150,01

IR = 53,66

 

 

X = 2.250,01

IR = 68,66

 

 

X = 2.866,70

IR = 161,16

 

 

 

Faixa 4: - 2.866,71 a 3.582,00 IR = f 4(X) = 0,225 . X – 483,84

X = 2.866,71

IR = 161,16

 

 

 

X = 2.966,71

IR = 183,66

 

 

 

 

X = 3.582,00

IR = 322,11

 

 

 

Faixa 5 - Acima de 3.582,00: IR = f 5(X) = 0,275 . X – 662,94

X = 3.582,01

IR = 322,11

 

 

 

 

X = 3.682,01

IR = 349,61

 

 

X= 4.582,01

IR = 597,11

 

 

2) Calcule o Imposto de Renda com base na tabela oficial, utilizando as sentenças matemáticas para cada faixa (funções do 1º grau) a partir da soma dos IR dos limites das faixas.

 

Faixa 1 - até 1434,59: IR = 0

X = 500,00

IR = 0

 

X  = 1.434,59

IR = 0

 

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00: 0,075 . (X – 1434,60)

X = 1.434,60

IR = 0

 

 

 

X = 1.534,60

IR = 7,50

 

 

 

X = 2.150,00

IR = 53,66

 

 

 

Faixa 3 - 2.150,01 a 2.866,70: 0,15 . (X – 2.150,01) + 53,66

X = 2.150,01

IR = 53,66

 

X = 2.250,01

IR = 68,66

 

X = 2.866,70

IR = l61,16

 

 

 

Faixa 4 - 2.866,71 a 3.582,00: 0,225 . (X – 2866,71) + 161,16

X = 2866,71

IR = 161,16

 

 

 

X = 2966,71

IR = 183,66

 

 

 

 

X = 3.582,00

IR = 322,11

 

 

 

Faixa 5 - Acima de 3.582,00: 0,275 . (X – 3.582,00) + 322,11

X = 3.582,01

IR = 322,11

 

 

 

 

X = 3.682,01

IR = 349,61

 

 

X= 4.582,01

IR = 597,11

 

3) A parcela a deduzir é obtida multiplicando o limite inferior da faixa pela porcentagem e subtraindo-se o Imposto de Renda do Limite Superior da faixa anterior. Ou seja: li . porcentagem - LS da outra faixa

Determine a parcela a deduzir das seguintes faixas:

a) FAIXA 2: Quem tem base de cálculo R$ 1434,59 (LS da faixa 1 não paga). Quem tem base de cálculo R$ 1434,60 (li da faixa 2) está na alíquota 7,5%. Calculando 1434,60 x 0,075 = 107,59. Qual a parcela a deduzir? 

A parcela a deduzir será 107,59 – 0 = 107,59

b) FAIXA 3: Quem tem base de cálculo R$ 2150,00 (LS da faixa 2) paga R$ 53,66. Quem tem base de cálculo R$ 2150,01 (li da faixa 3) está na alíquota 15%. Calculando 2150,01 x 0,15 = 322,50. Qual a parcela a deduzir? 

A parcela a deduzir será 322,50 – 53,66 = 268,84

c) FAIXA 4: Quem tem base de cálculo R$ 2.866,70 (LS da faixa 3) paga R$ 161,16. Quem tem base de cálculo R$ 2.866,71 (li da faixa 4) está na alíquota 22,5%. Calculando 2.866,71 x 0,225 = 645,00. Qual a parcela a deduzir?

A parcela a deduzir será 645,00 – 161,16 = 483,84

d) FAIXA 5: Quem tem base de cálculo R$ 3582,00  (LS da faixa 4) paga R$ 322,11. Quem tem base de cálculo R$ 3582,01 está na alíquota 27,5%. Calculando 3582,01 x 0,275 = 985,00. Qual a parcela a deduzir?

A parcela a deduzir será 985,00 – 322,11 = 662,94

 

4) Para aprimorar o conhecimento, vamos criar um exemplo fictício alterando somente a alíquota da faixa 2 de 7,5% para 10%.

a) Alterando somente a alíquota da faixa 2 da tabela oficial de 7,5% para 10% (portanto a faixa 1 continua isenta), qual a nova parcela a deduzir dessa alíquota fictícia?

Para que a função seja contínua, como R$1434,59 não paga, a parcela a deduzir será 1434,59 x 10% = 143,59

 

b) Quais as novas sentenças matemáticas para a faixa 2 com alíquota fictícia de 10%?

         Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00:  IR = f 2(X) = 0,1 . X – 143,46

OU

Faixa 2 - 1.434,60 a 2.150,00: IR = 0,1 . (X – 1434,60)

 

c) Como é o novo gráfico para a faixa 2, com alíquota fictícia de 10%, e qual sua relação com o antigo?

         O gráfico é um segmento de reta com extremidade no limite da faixa e seu coeficiente angular é 0,1, por causa da alíquota 10% = 0,1. As retas suportes do gráfico antigo e do novo, na faixa 2, são retas concorrentes.

 

d) Como e ficaria o gráfico das outras faixas?

         Como as outras alíquotas não foram alteradas, os coeficientes angulares são os mesmos, portanto as retas são paralelas às retas da tabela oficial nas outras faixas.

 

 

5) Na função do IR da Faixa 2: f(X) = 0,075 . X – 107,59

a) Qual o coeficiente angular e o que ele significa na função acima do IR?

Coeficiente angular = 0,075, que é a alíquota do IR

b) Qual o coeficiente linear e o que ele significa na função acima do IR?

Coeficiente linear = – 107,59, que é a parcela a deduzir

 

TABELA 2015

As tabelas mudam constantemente. A tabela 2015 está abaixo e no site http://normas.receita.fazenda.gov.br/sijut2consulta/link.action?visao=anotado&idAto=62637#1515231

Base de Cálculo (R$)

Alíquota (%)

Parcela a deduzir do IR (em R$)

Até 1.903,98

-

-

De 1.903,99 até 2.826,65

7,5

142,80

De 2.826,66 até 3.751,05

15

354,80

De 3.751,06 até 4.664,68

22,5

636,13

Acima de 4.664,68

27,5

869,36

A Receita disponibilizou em 2015 um simulador de alíquota efetiva para você calcular o Imposto devido, inclusive com o imposto para cada faixa, no site http://www.receita.fazenda.gov.br/Aplicacoes/ATRJO/Simulador/simulador.asp?tipoSimulador=M

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