FUNÇÃO E O CAMELÔ 

FUNÇÃO DO 1º GRAU, EQUAÇÃO DO 1º GRAU E LISTA DE EXERCÍCIOS

 

EXEMPLOS PARA CONSTRUIR O CONHECIMENTO

DE FUNÇÃO  DO 1º GRAU

Arrecadação na banca do camelô que vende máquinas de calcular a R$ 2,00

 

Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00 cada uma. Quanto arrecadará se vender:

a) uma máquina?

x = 1

2 . 1  = 2

b) 2 máquinas?

x = 2

2 . 2  = 4

c) 3 máquinas?

x = 3

2 . 3 = 6

d) 4 máquinas?

x = 4

2 . 4 = 8

e) nenhuma máquina?

x = 0

2 . 0 = 0

f) 29 máquinas?

x = 29

2.29 = 58

g) x máquinas?

2.x

 

Tabuada na máquina simples de calcular

A máquina de calcular simples (que custa R$ 2,00 e tem as operações + - x / %) é ótima para fazer tabuada. Quando multiplicamos, ela fixa o primeiro número e a operação de multiplicação.

Por exemplo, na tabuada do 2, apertamos a tecla 2, a tecla X, a tecla 1, a tecla = e aparece no visor o resultado 2. A máquina  fixa o 2 X

Para fazer qualquer número multiplicado por 2, basta colocar o número e apertar =

Não é para apertar novamente a tecla X nem apagar o número que está no visor.

 

número

número que aparece no visor (resultado)

2 X 1 =

2

2 =

4

3=

6

4=

8

5=

10

6=

12

7=

14

8=

16

9=

18

5=

10

29=

58

4=

8

 

SENTENÇA MATEMÁTICA

O camelô arrecada dinheiro para cada máquina vendida.

Se não vender, não arrecada.

Se vender 1 máquina, arrecada R$ 2,00.

Se vender 2 máquinas, arrecada R$ 4,00.

Se vender 3, arrecada R$ 6,00.

Se vender x máquinas, arrecada 2 . x, ou arrecada y.

y surge em função de x e a representação é f(x) = y = 2. x

Formalizando:

Se não vender, não arrecada.

f(0) = 0

Se vender 1, arrecada R$ 2,00.

f(1) = 2

Se vender 2, arrecada R$ 4,00.

f(2) = 2 . 2 = 4

Se vender 3, arrecada R$ 6,00.

f(3) = 2 . 3 = 6

A sentença matemática que mostra a arrecadação do camelô pode ser escrita como:

f(x) = y = 2 . x

ou y = f(x) = 2 . x

ou y = 2 . x

ou f(x) = 2 . x

 

FORMALIZAÇÃO DA ARRECADAÇÃO DO CAMELÔ

Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00. Utilizando a sentença matemática f(x) = 2 . x, quanto arrecadará se vender:

a) nenhuma máquina?

x = 0

f(0) = 2 . 0 = 0

b) uma máquina?

x = 1

f(1) = 2 . 1  = 2

c) 2 máquinas?

x = 2

f(2) = 2 . 2  = 4

d) 3 máquinas?

x = 3

f(3) = 2 . 3 = 6

e) 4 máquinas?

x = 4

f(4) = 2 . 4 = 8

f) 29 máquinas?

f(29) = 2 . 29 = 58

TABELA

A arrecadação do camelô pode ser representada em uma tabela.

 

x

máquinas

0

1

2

3

4

f(x)

R$

0

2

4

6

8

 

PAR ORDENADO, PONTO

A arrecadação do camelô pode ser representada por um par ordenado, onde o primeiro número significa o número de máquinas vendidas e o segundo número a arrecadação do camelô: (número de máquinas vendidas, arrecadação R$)

ou (x, f(x))

ou (x,y)

Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.

{(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

Os pares ordenados serão pontos do gráfico.

 

DOMÍNIO E IMAGEM

O número de máquinas é o conjunto de partida ou domínio da função.

D = {0,1,2,3,4}

O valor arrecadado é o conjunto de chegada ou imagem da função.

I = {0, 2, 4, 6, 8}

 

GRÁFICO CARTESIANO

A arrecadação do camelô pode ser representada em um gráfico. Isso não é nada simples, pois as continhas serão transformadas em Geometria, em pontos de um plano.

Essa representação é devida a René Descartes.

Duas retas perpendiculares são graduadas a partir do ponto de encontro.

Na reta horizontal é colocado o número de maquininhas vendidas e, na vertical, quanto foi arrecadado.

O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas, ou eixo X.

O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas, ou eixo Y.

Traçam-se 2 perpendiculares. A intersecção das perpendiculares é o ponto (x,y)

Por exemplo, quanto o camelô arrecadará se vender 1 máquina?

Para representar o ponto (1,2), traçamos uma perpendicular ao número 1 no eixo X, outra perpendicular ao número 2 no eixo Y. O ponto é a intersecção dessas perpendiculares.

 

 

Microempresa”: banca do camelô que investe R$ 6,00 e vende máquinas de calcular a R$ 2,00

 

Um camelô ganhou máquinas de calcular da Associação dos Camelôs do Brasil, Acabra, e vende a R$ 2,00 cada uma. Foi buscá-las de ônibus e gastou R$ 2,30 para ir, R$ 2,30 para voltar e R$ 1,40 de refeição. Escreva uma sentença matemática que representa o lucro do camelô em função das máquinas vendidas.

O camelô recebe R$ 2,00 em cada máquina. Se vender uma, recebe 2; se vender 2, recebe 2.2 = 4; se vender 3, recebe 2.3 = 6; se vender x, recebe 2.x.

Mas investiu para  buscar as máquinas, gastou 2,30 + 2,30 + 1,40 = R$ 6,00

Lucro = L(x) = f(x) = y = 2.x - 6

 

CÁLCULO f(x) = y

x é o número de máquinas.

f(x) = y é o dinheiro, o lucro que o camelô tem.

Aplicando a sentença matemática, que lucro terá em função do número de máquinas, se vender:

a) nenhuma máquina?

x = 0, f(0) = 2.0 – 6 = -6 (se não vender, terá prejuízo de R$ 6,00).

b) uma máquina?

x = 1, f(1) = 2.1 – 6 = -4 (se vender 1 máquina, terá prejuízo de R$ 4,00).

c) 2 máquinas?

x = 2, f(2) = 2.2 – 6 = -2 (se vender 2 máquinas, terá prejuízo de R$ 2,00).

d) 3 máquinas?

x = 3, f(3) = 2.3 – 6 = 0 (se vender 3 máquinas, deixará de ter prejuízo).

e) 4 máquinas?

x = 4, f(4) = 2.4 – 6 = 2 (se vender 4 máquinas, terá lucro de R$ 2,00).

f) 5 máquinas?

x = 5, f(5) = 2.5 – 6 = 4 (se vender 5 máquinas, terá lucro de R$ 4,00).

g) 6 máquinas?

x = 6, f(6) = 2.6 – 6 = 6 (se vender 6 máquinas, terá lucro de R$ 6,00).

h) 7 máquinas?

x = 7, f(7) = 2.7 – 6 = 8 (se vender 7 máquinas, terá lucro de R$ 8,00).

 

TABELA

Aplicando a sentença matemática acima, f(x) = 2.x - 6, represente na tabela abaixo o lucro em função do número de máquinas.

 

x máquinas

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

R$

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

 

PAR ORDENADO, PONTO

Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima, que serão pontos do gráfico.

{(0,-6), (1,-4), (2,-2), (3,0), (4,2), (5,4), (6,6), (7,8)}

 

GRÁFICO

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Bastam 2 pontos para determinar uma reta, portanto, colocando 2 pontos e traçando uma reta com a régua, obtemos todas as outras contas (ponto).

Construa o gráfico de f(x) = 2.x – 6. Suponha que x é um número real.

 

 

 

COEFICIENTE LINEAR (0,b)

            Seja f(x) = a.x + b

            O coeficiente linear é o número “sozinho”, b, e representa onde a reta corta o eixo y, pois x = 0

            f(0) = a.0 + b = 0 + b = b  

            É o ponto (0,b)

            Na função f(x) = 2.x -6, qual é o coeficiente linear, ou seja, onde a reta corta o eixo dos y?

O coeficiente linear é o número “sozinho”, ou seja, -6.

O ponto no eixo y tem x = 0

f(0 ) = 2.0 – 6 = -6

A reta corta o eixo y em -6, ou seja, no ponto (0,-6).

 

RAIZ DA FUNÇÃO – (x,0) – RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

A raiz da função “é onde a reta corta o eixo x”, ou seja, “onde y = 0”

Seja f(x) = 2.x – 6. Quando o camelô deixará de ter prejuízo, isto é, qual a raiz da função?

Deixará de ter prejuízo quando o valor vendido for igual ao investimento, ou seja, quando f(x) = 0.

Basta resolver a equação do 1º grau.

2.x – 6 = 0

2.x = 6

x = 6/2

x = 3

A reta corta o eixo X em 3, ou seja, no ponto (3,0).

Resposta: deixará de ter prejuízo quando vender 3 máquinas.

 

COEFICIENTE ANGULAR – FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE

            O coeficiente angular é o número que “fica na frente do x” (a.x). É a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas.

            A função é crescente se y aumenta quando x aumenta (f(x2)>f(x1) se x2>x1). A função é decrescente se y diminui quando x aumenta (f(x2)1) se x2>x1).

            Se o coeficiente angular for positivo (a>0, tgα >0), a função é crescente.

            Se o coeficiente angular for negativo (a<0, tg <0), a função é decrescente.

            No exemplo do lucro obtido pelo camelô na função f(x) = 2.x – 6, o lucro L(x) = f(x). Quanto mais máquinas forem vendidas, maior será o lucro. Se não vender nenhuma máquina, L(0) = f(0) = - 6, que é o investimento e o coeficiente linear. O preço de cada máquina, R$ 2,00, é o coeficiente angular = 2 = tgα. O comerciante deixa de ter prejuízo quando vende 3 máquinas, L(3) = f(3) = 2.3 – 6 = 0. O número 3 (3 máquinas vendidas) é a raiz da função que é obtida pela equação 2.x – 6 = 0.

 

COEFICIENTE ANGULAR, TANGENTE E DERIVADA

            No estudo de derivada (Matemática Aplicada), a derivada equivale à tangente, que é o coeficiente angular da reta que toca o gráfico.

            Tangente, no triângulo retângulo, é um número obtido pela divisão das medidas do cateto oposto (na frente do ângulo) pelo cateto adjacente (forma o ângulo).

tgα = cateto oposto/cateto adjacente.

            Observando apenas o triângulo retângulo no gráfico de f(x) = 2.x – 6 formado pelos pontos (4,2) e (3,0), temos:

            cateto oposto = 2

            cateto adjacente = 1

            tgα = cateto oposto/cateto adjacente = 2/1 = 2

            O número 2 é o coeficiente angular, a tangente e a derivada que será vista em Matemática Aplicada.

 

TRANSFORMAÇÃO EM f(x) = y = a.x + b

            Basta “deixar o y sozinho.”

            Exemplo:

            4.x – 12 – 2y = 0

            4.x – 12 = 2y

            (4.x – 12)/2 = y

            2.x – 6 = y

            Assim, obtemos a forma reduzida y = f(x) = 2.x – 6, onde 2 é o coeficiente angular e – 6 é o coeficiente linear.

    As funções 4.x - 12 - 2y = 0 e f(x) = y = 2.x - 6 são a mesma função, pois para cada x temos o mesmo y que torna a função verdadeira..

 

Microempresa”: camelô vende máquinas de calcular em consignação e recebe a metade

 

A Associação dos Camelôs Independentes – Acin – propôs ao camelô que, em vez de buscar as máquinas na Acabra, vendesse em consignação, pois seria melhor negócio. O camelô recebe na sua banca as máquinas e as vende por R$ 2,00, ficando com 50%, ou seja fica com R$ 1,00. Assim, vendendo as máquinas da Acin não teria que investir e não teria prejuízo.

 

SENTENÇA MATEMÁTICA DA ACIN

O camelô recebe R$ 1,00 por máquina.

Se não vender, não arrecada, mas não tem prejuízo.  A Acin argumenta que é vantagem vender as máquinas em consignação.

Se vender 1 máquina, o camelô arrecada R$ 1,00.

Se vender 2 máquinas, arrecada R$ 2,00.

Se vender 3, arrecada R$ 3,00.

Se vender x máquinas, arrecada y = x.

y surge em função de x e a representação é f(x) = y = x.

Formalizando:

Se não vender, não arrecada.

f(0) = 0

Se vender 1, arrecada R$ 1,00.

f(1) = 1

Se vender 2, arrecada R$ 2,00.

f(2) = 2

Se vender 3, arrecada R$ 3,00.

f(3) = 3

A sentença matemática que mostra a arrecadação do camelô pode ser escrita como:

f(x) = y = x

ou y = f(x) = x

ou y = x

ou f(x) =x

 

FORMALIZAÇÃO DA ARRECADAÇÃO DO CAMELÔ DA ACIN

Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00 e tem lucro de R$ 1,00. Utilizando a sentença matemática f(x) = x, quanto arrecadará se vender:

a) nenhuma máquina?

x = 0

f(0) = 0 = 0

b) uma máquina?

x = 1

f(1) = 1  = 1

c) 2 máquinas?

x = 1

f(2) = 2  = 2

d) 3 máquinas?

x = 3

f(3) = 3

e) 4 máquinas?

x = 4

f(4) = 4

f) 5 máquinas?

x = 5

f(5) = 5

g) 6 máquinas?

x = 6

F(6) = 6

h) 7 máquinas?

x = 7

F(7) = 7

 

TABELA

A arrecadação do camelô pode ser representada em uma tabela.

 

x

máquinas

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

R$

0

1

2

3

4

5

6

7

 

PAR ORDENADO, PONTO

A arrecadação do camelô pode ser representada por um par ordenado, onde o primeiro número significa o número de máquinas vendidas e o segundo número a arrecadação do camelô: (número de máquinas vendidas, arrecadação R$)

ou (x, f(x))

ou (x,y)

Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.

{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7)}

 

GRÁFICO

Construa o gráfico da função f(x) = x, que representa o lucro do camelô quando compra da Acin.

A reta é a bissetriz do 1º quadrante.

 

 

COEFICIENTE LINEAR de f(x) = x

            Seja f(x) = a.x + b

            O coeficiente linear é o número “sozinho”, b, e representa onde a reta corta o eixo y, pois x = 0

            f(0) = a.0 + b = 0 + b = b  

            É o ponto (0,b)

            Na função f(x) = x, qual é o coeficiente linear, ou seja, onde a reta corta o eixo dos y?

O coeficiente linear é o número “sozinho”, ou seja, 0.

O ponto no eixo y tem x = 0

f(0 ) = 0

Assim, a função do camelô que compra na Acin intercepta  o eixo dos y em (0,0).

 

RAIZ DA FUNÇÃO – (x,0) – RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

A raiz da função “é onde a reta corta o eixo x”, ou seja, “onde y = 0”

Seja f(x) = x.

f(x) = 0.

Basta resolver a equação do 1º grau.

x = 0

Portanto, corta o eixo x  em 0, ou seja, no ponto (0,0).

Neste exemplo, o ponto onde a reta corta o eixo dos x é o mesmo em que corta o eixo dos y.

 

COEFICIENTE ANGULAR

            O coeficiente angular é o número “na frente” do x.

            f(x) = x

            f(x) = 1.x

            Portanto, coeficiente angular = 1, que é igual à tangente e à derivada (que será vista em Matemática Aplicada).

            Neste caso, o ângulo é de 45º e tg 45º = 1.

 

ANÁLISE E DECISÃO: ONDE ADQUIRIR AS MÁQUINAS?

Onde o camelô deve adquirir as máquinas?

Podem ser feitas várias análises.

Comparação de tabelas

Lucro pela Acabra, f(x) = 2.x - 6:

 

x máquinas

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Lucro pela Acin, f(x) = x

 

x

máquinas

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

R$

0

1

2

3

4

5

6

7

Observando as tabelas, o lucro é maior pela Acin até 5 máquinas. O lucro é igual se forem vendidas 6 máquinas. O lucro é maior pela Acabra a partir de 7 máquinas vendidas.

Comparação de gráficos

Observando-se os gráficos, o ponto de intersecção é (6,6). Esse ponto também pode ser obtido algebricamente resolvendo o sistema de equações.

Olhando o gráfico, percebe-se que o lucro é maior pela Acin até a 5ª máquina. É igual quando são vendidas 6. É maior pela Acabra a partir da 7ª.

Comparando as derivadas

O coeficiente angular equivale à tangente que a reta forma com o eixo dos X. É a inclinação da reta. É a derivada.

Quanto maior a derivada, maior é o ângulo, ou seja, o crescimento do lucro.

O lucro pela Acabra ultrapassa em certo momento ao da Acin, pois a derivada da função da Acabra = 2 é maior do que a derivada = 1, da Acin,.

 

FUNÇÃO DO 1º GRAU: RESUMO DAS PROPRIEDADES

            Uma função pode ser representada por tabela, diagrama, conjunto de pares ordenados, sentença matemática, gráfico.

            Em uma função do 1º grau, o domínio e a imagem são os números reais.

            O gráfico cartesiano (René Descartes) é composto por 2 eixos ortogonais (ângulo reto). O eixo dos x, horizontal, também chamado de eixo das abscissas, é graduado para a direita com números positivos a partir do zero, e negativos para a esquerda. O eixo dos y, vertical, também chamado eixo das ordenadas, é graduado para cima com números positivos a partir do zero, e negativos para baixo. Para obter o ponto traçam-se perpendiculares por x e y: o encontro das perpendiculares é o ponto.

            O gráfico da função do 1º grau é uma reta. As continhas são os pontos (x,y). Bastam 2 pontos para determinar uma reta, então, bastam 2 contas.

            Forma reduzida da função do 1º grau: f(x) = y = a.x + b

            O y ou f(x) vem em função do x. Por exemplo, em f(x) = 2.x – 6, f(0) = 2.0 – 6 = -6, que é o ponto (0,-6)

            b é o coeficiente linear, onde a reta “corta” o eixo dos y: ponto (0, b)

            A reta “corta” o eixo dos x (abscissa) no ponto (x,0) e é encontrado resolvendo a equação do primeiro grau a.x + b = 0

            O coeficiente angular é o número que “fica na frente do x” (a.x). É a tangente do ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas. Tangente, no triângulo retângulo, é um número obtido pela divisão das medidas do cateto oposto (na frente do ângulo) pelo cateto adjacente (forma o ângulo).  tgα = cateto oposto/cateto adjacente.

            A função é crescente se y aumenta quando x aumenta (f(x2)>f(x1) se x2>x1).

            A função é decrescente se y diminui quando x aumenta (f(x2)1) se x2>x1).

            Se o coeficiente angular for positivo (a>0, tgα >0), a função é crescente.

            Se o coeficiente angular for negativo (a<0, tg <0), a função é decrescente.

            No exemplo, o lucro obtido pelo camelô pode ser escrito como  L(x) = f(x) = 2.x – 6. Quanto mais máquinas forem vendidas, maior será o lucro. Se não vender nenhuma máquina, L(0) = f(0) = - 6, que é o investimento e o coeficiente linear. O preço de cada máquina, R$ 2,00, é o coeficiente angular = 2 = tgα. O comerciante deixa de ter prejuízo quando vende 3 máquinas, L(3) = f(3) = 2.3 – 6 = 0. O número 3 (3 máquinas vendidas) é a raiz da função que é obtida pela equação 2.x – 6 = 0.

            No estudo de derivada (Matemática Aplicada), a derivada equivale à tangente, que é o coeficiente angular na função f(x) = y = a.x + b .

 

Nas funções abaixo, encontre o coeficiente angular, a tangente da reta, a derivada e diga se a função é crescente ou decrescente observando o coeficiente angular.

 

 

função

coeficiente angular

tangente

derivada

crescente decrescente

f(x) = 2.x - 6

2

2

2

crescente

f(x) = 3.x + 12

3

3

3

crescente

f(x) = 2.x

2

2

2

crescente

f(x) = 1/5.x+4

1/5

1/5

1/5

crescente

f(x) = x

1

1

1

crescente

f(x) = x + 0,03

1

1

1

crescente

f(x) = 0,4.x -8

0,4

0,4

0,4

crescente

f(x) = -3.x + 6

-3

-3

-3

decrescente

f(x) = -7.x + 5

-7

-7

-7

decrescente

f(x) = -2.x - 6

-2

-2

-2

decrescente

f(x) = -x + 1/2

-1

-1

-1

decrescente

f(x) = -87.x

-87

-87

-87

decrescente

y = 2.x - 6

2

2

2

crescente

2.x – 6 = y

2

2

2

crescente

 

Nas funções abaixo, encontre o coeficiente linear e o ponto em que a reta corta (intersecção) o eixo das ordenadas (eixo y).

 

 

função

coeficiente linear

Ponto onde intercepta y

f(x) = 2.x - 6

-6

(0, -6)

f(x) = 3.x + 12

12

(0, 12)

f(x) = 2.x

0

(0, 0)

f(x) = 1/5.x+4

4

(0, 4)

f(x) = x

0

(0, 0)

f(x) = x + 0,03

0,03

(0, 0,03)

f(x) = 0,4.x -8

-8

(0, -8)

f(x) = -3.x + 6

6

(0, 6)

f(x) = -7.x + 5

5

(0, 5)

f(x) = -2.x - 6

-6

(0, -6)

f(x) = -x + 1/2

1/2 ou 0,5

(0, 1/2) = (0, 0,5)

f(x) = -87.x

0

(0, 0)

y = 2.x - 6

-6

(0, -6)

2.x – 6 = y

-6

(0, -6)

 

RAIZ DA FUNÇÃO DETERMINADA PELA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Para encontrar a raiz da função, basta resolver a equação do 1º grau. Esse número é onde a reta corta o eixo das abscissas, eixo x, (0, raiz), (0, x).

Encontre a raiz de f(x) = 2.x – 6

2.x – 6 = 0

2.x = 6

x = 6/2

x = 3

Ponto onde corta x (3, 0)

Determine a raiz e o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas.

 

função

raiz

Ponto onde intercepta x

f(x) = 2.x - 6

3

(3 , 0)

f(x) = 3.x + 12

-4

(-4 , 0)

f(x) = 2.x

0

(0 , 0)

f(x) = 1/5.x+4

-20

(-20 , 0)

f(x) = x

0

(0 , 0)

f(x) = x + 0,03

-0,03

(-0,03 , 0)

f(x) = 0,4.x -8

20

(20 , 0)

f(x) = -3.x + 6

2

(2 , 0)

f(x) = -7.x + 5

5/7

(5/7 , 0)

f(x) = -2.x - 6

-3

(-3 , 0)

f(x) = -x + 1/2

1/2

(1/2 , 0)

f(x) = -87.x

0

(0 , 0)

y = 2.x - 6

3

(3 , 0)

2.x – 6 = y

3

(3 , 0)

 

EXERCÍCIO – FUNÇÃO DECRESCENTE

Seja f(x) = -3.x + 6

 

a) Encontre:

a1) f(-1) = -3.(-1) + 6 = 3 + 6 = 9

a2) f(0) = -3.0 + 6 = 6

a3) f(1) = -3.1 + 6  = 3

a4) f(2) = -3.2 + 6 = -6 + 6 = 0

a5) f(3) = -3.3 + 6 = - 9 + 6 = -3

 

b) Complete a tabela:

 

x

-1

0

1

2

3

y

9

6

3

0

-3

 

c) Escreva os pares ordenados:

{(-1,9), (0, 6), (1, 3), (2, 0), (3, -3)}

 

d) Responda:

d1) Qual o coeficiente angular?

Coeficiente angular = -3

d2) Qual a tangente?

Tangente = -3

d3) Qual a derivada?

Derivada = -3

d4) A função é crescente ou decrescente?

É decrescente porque o coeficiente angular é negativo.

É decrescente porque, quando o x aumenta, y diminui.

 

e) Responda:           

e1) Qual o coeficiente linear?       

Coeficiente linear = 6

e2) Calcule f(0)

f(0) = -3. 0 + 6 = 6 = coeficiente linear.

e3) Em que ponto a reta intercepta o eixo das ordenadas (eixo y)?

(0, -6)

 

f) Responda:

f1) Qual a raiz da função?

Basta resolver a equação do 1º grau.

-3.x + 6 =0

-3.x = -6

x = -6/-3 = 2

f2) Em que ponto a reta intercepta o eixo das abscissas?

(0, 2)

 

g) Construa o gráfico de f(x) -3.x + 6 = 0

Construa o gráfico com os pontos (0, 6) e (2, 0).

 

 

Observando o gráfico:

g1) Em que ponto a reta corta o eixo das ordenadas?

Ponto (0,6)

g2) Em que ponto a reta corta o eixo das abscissas?

Ponto (2,0)

g3) A função é crescente ou decrescente?

Decrescente, porque y diminui quando x cresce.

 

  

 

 

LISTA DE EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO DO 1º GRAU

 

Esta lista de exercícios é um estudo dirigido e visa apenas o aprendizado.

Os exercícios estão em seqüência para “nascerem” os conceitos e propriedades naturalmente.  Primeiro leia a teoria, depois siga a ordem desde o começo até o fim, o que facilitará o aprendizado. Os exercícios são os mesmos feitos e acima neste link. Resolva, em seguida confira os resultados com as respostas abaixo e, em caso de dúvida, veja a teoria, pois a explicação está lá. Você resolverá facilmente se tiver lido a teoria.

1) Um camelô vende máquinas de calcular a R$ 2,00 cada uma. Quanto arrecadará se vender:

a) uma máquina?

 

 

b) 2 máquinas?

 

 

c) 3 máquinas?

 

 

d) 4 máquinas?

 

 

e) nenhuma máquina?

 

 

f) 29 máquinas?

 

 

g) x máquinas?

 

 

2) Treine a tabuada utilizando a máquina de calcular simples.

 

número

número que aparece no visor (resultado)

2 X 1 =

2

2 =

4

3=

 

4=

 

5=

 

6=

 

7=

 

8=

 

9=

 

5=

 

29=

 

4=

 

 

3)  f(x) = y = 2. x

Calcule:

a) f(0) =

b) f(1) =

c) f(2) =

d) f(3) =

e) f(4) =

 

4) Coloque na tabela os valores de f(x) = 2.x

 

x

0

1

2

3

4

f(x)

 

 

 

 

 

 

5) Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.

 

6) Escreva o domínio da função da tabela acima.

D =

7) Escreva a imagem da função da tabela acima.

I =

 

8) Represente no gráfico cartesiano o ponto (1,2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9) Um camelô ganhou máquinas de calcular da Associação dos Camelôs do Brasil, Acabra, e vende a R$ 2,00 cada uma. Foi buscá-las de ônibus e gastou R$ 2,30 para ir, R$ 2,30 para voltar e R$ 1,40 de refeição. Escreva uma sentença matemática que representa o lucro do camelô em função das máquinas vendidas.

 

 

 

10) Com base no exercício acima, que lucro o camelô terá em função do número de máquinas, se vender:

a) nenhuma máquina?

 

 

b) uma máquina?

 

 

c) 2 máquinas?

 

 

d) 3 máquinas?

 

e) 4 máquinas?

 

 

f) 5 máquinas?

 

 

g) 6 máquinas?

 

 

h) 7 máquinas?

 

 

 

11) Aplicando a sentença matemática f(x) = y = 2.x - 6, calcule:

a) f(0) =

b) f(1) =

c) f(2) =

d) f(3) =

e) f(4) =

f) f(5) =

g) f(6) =

h) f(7)

 

12)  Aplicando a sentença matemática f(x) = 2.x - 6, complete a tabela

 

x

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13) Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.

 

 

14) Construa o gráfico de f(x) = 2.x – 6. Suponha que x é um número real.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            15) Na função f(x) = 2.x -6,

            a) qual é o coeficiente linear?

 

b) Em que ponto a reta corta o eixo y?

 

 

16) Seja f(x) = 2.x – 6, que representa o lucro do camelô dos exercícios acima.

a) Quando o camelô deixará de ter prejuízo?

 

 

 

b) Em que ponto a reta corta o eixo das abscissas?

 

 

 

 

17) Na função f(x) = 2.x – 6:

a) Qual o coeficiente angular?

 

b) Qual a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas?

 

 

c) Qual a derivada de f(x) = 2.x – 6

 

 

 

18) A Associação dos Camelôs Independentes – Acin – propôs ao camelô que, em vez de buscar as máquinas na Acabra, vendesse em consignação, pois seria melhor negócio. O camelô recebe na sua banca as máquinas e as vende por R$ 2,00, ficando com 50%, ou seja fica com R$ 1,00. Assim, vendendo as máquinas da Acin não teria que investir e não teria prejuízo. Qual o lucro do camelô se vender:

a) nenhuma máquina?

 

b) 1 máquina?

 

c) 2 máquinas?

 

d) 3 máquinas?

 

 

 

19) Qual a sentença matemática que descreve o lucro acima do camelô que vende as máquinas da Acin em consignação?

 

 

20) Com base no exercício acima, aplicando a sentença matemática L(x) = f(x) = y = x, calcule o lucro do camelô em função do número de máquinas:

a) Se não vender, não arrecada.

f(0) =

b) Se vender 1 máquina,

f(1) =

c) Se vender 2 máquinas,

f(2) =

d) Se vender 3 máquinas,

f(3) =

 

21) Complete a tabela utilizando a sentença matemática f(x) = x

 

x

máquinas

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

R$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22) Escreva os pares ordenados (x,y) da tabela acima.

 

 

23) Construa o gráfico da função f(x) = x, que representa o lucro do camelô quando compra da Acin.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            24) Na função f(x) = x

            a) Qual o coeficiente angular?   

           

            b) Qual a tangente da reta?

           

            c) Qual a derivada?

           

            d) A função f(x) = x é crescente ou decrescente?

           

 

 

25) Nas funções abaixo, encontre o coeficiente angular, a tangente da reta, a derivada e diga se a função é crescente ou decrescente observando o coeficiente angular.

 

função

coeficiente

angular

tangente

derivada

crescente decrescente

f(x) = 2.x - 6

2

2

2

crescente

f(x) = 3.x + 12

 

 

 

 

f(x) = 2.x

 

 

 

 

f(x) = 1/5.x+4

 

 

 

 

f(x) = x

 

 

 

 

f(x) = x + 0,03

 

 

 

 

f(x) = 0,4.x -8

 

 

 

 

f(x) = -3.x + 6

 

 

 

 

f(x) = -7.x + 5

 

 

 

 

f(x) = -2.x - 6

 

 

 

 

f(x) = -x + 1/2

 

 

 

 

f(x) = -87.x

 

 

 

 

y = 2.x - 6

 

 

 

 

2.x – 6 = y

 

 

 

 

 

26) Nas funções abaixo, encontre o coeficiente linear e o ponto em que a reta corta (intersecção) o eixo das ordenadas (eixo y).

 

função

coeficiente

linear

Ponto onde intercepta y

f(x) = 2.x - 6

-6

(0, -6)

f(x) = 3.x + 12

 

 

f(x) = 2.x

 

 

f(x) = 1/5.x+4

 

 

f(x) = x

 

 

f(x) = x + 0,03

 

 

f(x) = 0,4.x -8

 

 

f(x) = -3.x + 6

 

 

f(x) = -7.x + 5

 

 

f(x) = -2.x - 6

 

 

f(x) = -x + 1/2

 

 

f(x) = -87.x

 

 

y = 2.x - 6

 

 

2.x – 6 = y

 

 

 

 

27) Determine a raiz e o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas.

 

função

raiz

Ponto onde intercepta x

f(x) = 2.x - 6

3

(3 , 0)

f(x) = 3.x + 12

 

 

f(x) = 2.x

 

 

f(x) = 1/5.x+4

 

 

f(x) = x

 

 

f(x) = x + 0,03

 

 

f(x) = 0,4.x -8

 

 

f(x) = -3.x + 6

 

 

f(x) = -7.x + 5

 

 

f(x) = -2.x - 6

 

 

f(x) = -x + 1/2

 

 

f(x) = -87.x

 

 

y = 2.x - 6

 

 

2.x – 6 = y

 

 

 

28) Seja f(x) = -3.x + 6

a) Encontre:

a1) f(-1) =

a2) f(0) =

a3) f(1) =

a4) f(2) =

a5) f(3) =

 

b) Complete a tabela:

 

x

-1

0

1

2

3

y

 

 

 

 

 

 

c) Escreva os pares ordenados:

 

 

d) Responda:

d1) Qual o coeficiente angular?

 

d2) Qual a tangente?

 

d3) Qual a derivada?

 

d4) A função é crescente ou decrescente?

 

 

e) Responda:   

e1) Qual o coeficiente linear?    

 

e2) Calcule f(0)

 

e3) Em que ponto a reta intercepta o eixo das ordenadas (eixo y)?

 

 

f) Responda:

f1) Qual a raiz da função?

 

 

f2) Em que ponto a reta intercepta o eixo das abscissas?

 

 

g) Observe o gráfico de f(x) -3.x + 6 = 0, que foi construído utilizando os pontos (0, 6) e (2, 0).

 

g1) Em que ponto a reta corta o eixo das ordenadas?

 

g2) Em que ponto a reta corta o eixo das abscissas?

 

g3) A função é crescente ou decrescente?

 

 

 

RESPOSTAS

 

1) a) x = 1

2 . 1  = 2

b) x = 2

2 . 2  = 4

c) x = 3

2 . 3 = 6

d) x = 4

2 . 4 = 8

e) x = 0

2 . 0 = 0

f) x = 29

2.29 = 58

g) 2.x

 

2) Aperte a tecla 2, a tecla x, o número 1 e a tecla = que aparecerá no visor o resultado que é 2.

Não aperte nenhuma tecla e digite o 2  e a tecla  = que aparecerá no visor o resultado que é 4.

Não aperte nenhuma tecla e digite o 3 e a tecla = que aparecerá no visor o resultado que é 6.

Repita o procedimento para os outros números pedidos.

 

número

número que aparece no visor (resultado)

2 X 1 =

2

2 =

4

3=

6

4=

8

5=

10

6=

12

7=

14

8=

16

9=

18

5=

10

29=

58

4=

8

 

3) a) f(0) = 2 . 0 = 0

b) f(1) = 2 . 1  = 2

c) f(2) = 2 . 2  = 4

d) f(3) = 2 . 3 = 6

e) f(4) = 2 . 4 = 8

 

4)

 

x

0

1

2

3

4

f(x)

0

2

4

6

8

 

5){(0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}

6) D = {0,1,2,3,4}

7) I = {0, 2, 4, 6, 8}

 

8)

 

9) O camelô recebe R$ 2,00 em cada máquina. Se vender uma, recebe 2; se vender 2, recebe 2.2 = 4; se vender 3, recebe 2.3 = 6; se vender x, recebe 2.x.

Mas investiu para  buscar as máquinas, gastou 2,30 + 2,30 + 1,40 = R$ 6,00

Lucro

= L(x) = f(x) = y = 2.x - 6

 

10) a)x = 0, f(0) = 2.0 – 6 = -6 (se não vender, terá prejuízo de R$ 6,00).

b) x = 1, f(1) = 2.1 – 6 = -4 (se vender 1 máquina, terá prejuízo de R$ 4,00).

c) x = 2, f(2) = 2.2 – 6 = -2 (se vender 2 máquinas, terá prejuízo de R$ 2,00).

d) x = 3, f(3) = 2.3 – 6 = 0 (se vender 3 máquinas, deixará de ter prejuízo).

e) x = 4, f(4) = 2.4 – 6 = 2 (se vender 4 máquinas, terá lucro de R$ 2,00).

f) 5 máquinas?

x = 4, f(5) = 2.5 – 6 = 4 (se vender 5 máquinas, terá lucro de R$ 4,00).

g) 6 máquinas?

x = 6, f(6) = 2.6 – 6 = 6 (se vender 6 máquinas, terá lucro de R$ 6,00).

h) 7 máquinas?

x = 7, f(7) = 2.7 – 6 = 8 (se vender 7 máquinas, terá lucro de R$ 8,00).

 

11) a) f(0) = 2.0 – 6 = -6

b) f(1) = 2.1 – 6 = -4

c) f(2) = 2.2 – 6 = -2

d) f(3) = 2.3 – 6 = 0

e) f(4) = 2.4 – 6 = 2

f) f(5) = 2.5 – 6 = 4

g) f(6) = 2.6 – 6 = 6

h) f(7) = 2.7 – 6 = 8

 

12) 

 

x

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

 

13) {(0,-6), (1,-4), (2,-2), (3,0), (4,2), (5,4), (6,6), (7,8)}

 

14)

 

 

 

            15)a) O coeficiente linear é o número “sozinho”, ou seja, -6.

b) No coeficiente linear, em -6, pois f(0) = 2.0 – 6 = -6

Portanto, a reta corta o eixo das ordenadas, eixo y, no ponto (0,-6).

 

16) a) Deixará de ter prejuízo quando o valor vendido for igual ao investimento, ou seja, quando f(x) = 0.

Basta resolver a equação do 1º grau.

2.x – 6 = 0

2.x = 6

x = 6/2

x = 3

Resposta: deixará de ter prejuízo quando vender 3 máquinas.

b) A reta corta o eixo X em 3, ou seja, no ponto (0,3).

 

17) a) O coeficiente angular é o número que está na frente do x na função f(x) = a.x + b, portanto é o número 2, que corresponde à tangente da reta e à derivada.

Portanto, coeficiente angular = 2

b) tangente = 2

c) derivada = 2

 

 

18) a) Se não vender, não arrecada, mas não tem prejuízo. 

b) Se vender 1 máquina, o camelô arrecada R$ 1,00.

c) Se vender 2 máquinas, arrecada R$ 2,00.

d) Se vender 3, arrecada R$ 3,00.

 

19) f(x) = y = x.

 

20) a) f(0) = 0

b) f(1) = 1

c) f(2) = 2

d)f(3) = 3

 

 

21)

 

x

máquinas

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

R$

0

1

2

3

4

5

6

7

 

22) {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7)}

 

23)

 

 

 

            24) a)O coeficiente angular é o número que está na frente do x.

            f(x) = x

            f(x) = 1.x

            Portanto, coeficiente angular = 1.

            b) A tangente é igual ao coeficiente angular, portanto = 1

            c) Na função do 1º grau, a derivada coincide com o coeficiente angular, portanto derivada = 1.

            d) A função é crescente porque o coeficiente angular é positivo. A função é crescente porque y aumenta quando x aumenta.

 

25)

 

função

coeficiente

angular

tangente

derivada

crescente decrescente

f(x) = 2.x - 6

2

2

2

crescente

f(x) = 3.x + 12

3

3

3

crescente

f(x) = 2.x

2

2

2

crescente

f(x) = 1/5.x+4

1/5

1/5

1/5

crescente

f(x) = x

1

1

1

crescente

f(x) = x + 0,03

1

1

1

crescente

f(x) = 0,4.x -8

0,4

0,4

0,4

crescente

f(x) = -3.x + 6

-3

-3

-3

decrescente

f(x) = -7.x + 5

-7

-7

-7

decrescente

f(x) = -2.x - 6

-2

-2

-2

decrescente

f(x) = -x + 1/2

-1

-1

-1

decrescente

f(x) = -87.x

-87

-87

-87

decrescente

y = 2.x - 6

2

2

2

crescente

2.x – 6 = y

2

2

2

crescente

 

26)

 

função

coeficiente

linear

Ponto onde intercepta y

f(x) = 2.x - 6

-6

(0, -6)

f(x) = 3.x + 12

12

(0, 12)

f(x) = 2.x

0

(0, 0)

f(x) = 1/5.x+4

4

(0, 4)

f(x) = x

0

(0, 0)

f(x) = x + 0,03

0,03

(0, 0,03)

f(x) = 0,4.x -8

-8

(0, -8)

f(x) = -3.x + 6

6

(0, 6)

f(x) = -7.x + 5

5

(0, 5)

f(x) = -2.x - 6

-6

(0, -6)

f(x) = -x + 1/2

1/2 ou 0,5

(0, 1/2) = (0, 0,5)

f(x) = -87.x

0

(0, 0)

y = 2.x - 6

-6

(0, -6)

2.x – 6 = y

-6

(0, -6)

 

 

 

27) a1) f(-1) = -3.(-1) + 6 = 3 + 6 = 9

a2) f(0) = -3.0 + 6 = 6

a3) f(1) = -3.1 + 6  = 3

a4) f(2) = -3.2 + 6 = -6 + 6 = 0

a5) f(3) = -3.3 + 6 = - 9 + 6 = -3

 

b)

 

x

-1

0

1

2

3

y

9

6

3

0

-3

 

c) {(-1,9), (0, 6), (1, 3), (2, 0), (3, -3)}

 

d) d1) Coeficiente angular = -3

d2) Tangente = -3

d3) Derivada = -3

d4) É decrescente porque o coeficiente angular é negativo.

É decrescente porque y diminui quando x aumenta.

 

e1) Coeficiente linear = 6

e2) f(0) = -3. 0 + 6 = 6 = coeficiente linear.

e3) (0, -6)

 

f1) Basta resolver a equação do 1º grau.

-3.x + 6 =0

-3.x = -6

x = -6/-3 = 2

f2) (2,0)

 

g1) Ponto (0,6)

g2) Ponto (2,0)

g3) Decrescente porque o coeficiente angular é negativo = - 3. Decrescente, porque y diminui quando x cresce.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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